0.   引言

在如今的航空发动机制造工艺中,惯性摩擦焊技术被视为核心粉末冶金部件的关键焊接方法,对推进航空发动机性能的提升和轻量化水平的提高具有重要意义^[1]。惯性摩擦焊技术通过两工件之间的旋转摩擦产生热量,使材料的焊接位置处于塑性状态,并在顶锻力的作用下使材料发生塑性变形与扩散,从而实现焊接^[2-3]。在有关航空发动机部件焊接工艺的研究中,数值模拟方法的应用日趋成熟。惯性摩擦焊工艺过程的仿真是一个典型的热-力耦合、多物理场、大应变、非线性的过程,材料高温性能参数的准确获取对其计算过程和结果均有较大的影响^[4]。材料性能的表达方法有很多,其中Johnson-Cook（J-C）本构模型因结构形式简单、参数简单、物理意义明确而被广泛用来描述金属材料在高应变速率和高温下的行为特征^[5-6]。在有限元计算过程中,准确的J-C模型参数是获得准确仿真结果的重要前提。

GH4169镍基高温合金是航空发动机核心部件制造的常用材料,其比强度高、耐热性好,且具有良好的抗疲劳、耐腐蚀性能以及出色的加工性能、焊接性能和组织稳定性^[7-8]。国内外学者已经对GH4169合金的性能开展了大量研究^[9-10],但由于高昂的试验成本,对于其在工作温度以上的力学性能尚未进行详细的研究,相关性能数据也较为匮乏。高温物理性能的准确表征决定着相关有限元仿真结果的可信度。因此,以较低试验成本获取高温物理性能对于推进高温合金惯性摩擦焊接工艺的研究具有重要意义。

近年来,人工智能的发展极为迅速,其中极具代表性的机器学习方法由于能高效模拟输入变量和输出变量之间的非线性关系,逐渐被用于材料性能表征、性能预测等领域,例如：基于有限元和智能算法反演骨骼肌的本构参数^[11]、多组分Fe-Cr基合金的力学性能预测^[12]、左心室力学性能参数预测^[13]等。有限元系统基于物理定律,使得有限元-机器学习方法能够有效地把握正向力学问题,这为反向传播提供了有力的支持,而利用可靠的正演模型进行反演分析是识别材料性能的有效手段^[14-15]。作者采用拉丁超立方采样方法对GH4169合金J-C本构参数空间进行均匀采样,导入有限元模型得到对应参数组合的应力-应变曲线,以应力-应变曲线数据为输入,J-C本构参数为输出,采用前向神经网络（FNN）模型、随机森林（RF）模型、循环神经网络（RNN）模型进行训练,同时对模型进行了贝叶斯超参数优化,对比分析了各模型反演本构参数的能力和准确性。

1.   试验方法

试验材料为时效态GH4169合金,试样尺寸为ϕ8 mm×12 mm。采用Gleeble 3800型热力模拟试验机进行单轴高温压缩试验,试验温度分别为850,900,950,1 000,1 050 ℃,保温时间为10 min,压头下压速度为12 mm·s⁻¹。在试验前采用电焊机在试样上焊接K型热电偶,热电偶的另一端连接至热模拟机上,试验结束后获得应力-应变数据,不同试验温度下测3次取平均值。

2.   有限元模拟

2.1   有限元建模

按照试验方法建立如图1所示的由刚性压头及塑性圆柱体部件构成的刚-塑性有限元模型,由于模型的几何形状和边界条件具有轴对称性,所以简化成轴对称模型。该轴对称模型由155个CAX4I单元（4节点双线性非协调轴对称）和617个节点组成,网格划分近似全局尺寸为0.6。

图  1  GH4169合金单轴高温压缩试验的三维模型和轴对称模型

Figure  1.  Three-dimensional model (a) and axisymmetric model (b) for uniaxial high-temperature compression test of GH4169 alloy

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对模型施加边界条件：圆柱体和压头间定义为无摩擦的面面接触,固定约束对称轴上的径向位移和底边的轴向位移,对刚性压头施加下压速度为12 mm·s⁻¹的载荷,此时应变速率为1 s⁻¹。对模型施加预定义温度场,以模拟压缩试验时圆柱体的温度。模型中包含2个分析步：第1个分析步中压头在−y方向以12 mm·s⁻¹的速度移动0.25 s,建立接触的临界状态；第2个分析步中压头在−y方向以12 mm·s⁻¹的速度继续移动0.25 s,即进给3 mm,用于模拟单轴压缩过程。

2.2   J-C本构模型数据集获取

J-C本构模型由等效应变函数、等效应变速率函数和温度函数三部分组成,具体形式如下：

式中：σ为等效流变应力；ε为等效塑性应变；${\dot{\epsilon }}^{*}$为无量纲塑性应变速率；$\dot{\epsilon }$为塑性应变速率；${\dot{\epsilon }}_0$为参考应变速率；T^*为无量纲温度；T为热力学温度；T_m为熔化温度；T_r为参考温度,室温；A, B, n, C, m均为材料常数,其中A为参考温度和参考应变速率下的屈服应力,B为应变硬化系数,n为应变硬化指数,C和m分别为应变硬化系数和热软化指数^[6]。

GH4169合金的J-C本构参数为5个材料参数A,B,n,C和m,根据文献[16-19],这5个本构参数取值范围,即本构参数空间分别为400~2 000,500~2 000,0.01~1,0.000 5~0.05,0.6~2。为了保证数据集的均匀性,提高训练后模型的鲁棒性。采用拉丁超立方采样（Latin hypercube sampling,LHS）方法^[20]对本构参数空间进行采样。LHS是一种统计采样方法,用于在多维参数空间中选择样本点,相比于传统的随机均匀采样方法,能够更好地覆盖参数空间并减小采样偏差。多次采样能表征更全面和均匀的参数空间。对于预估的40 000组采样点,一共进行40次LHS采样,每次采样1 000组。将采样生成的本构方程参数导入前文建立的有限元模型进行计算,获取本构参数与应力-应变曲线之间对应关系的数据集（40 000组）。将数据集分割成训练集和测试集,其中测试集数据量占比为20%。

2.3   机器学习算法

前向神经网络（FNN）是一种前向传播结构的人工神经网络,包含输入层、输出层和若干个隐藏层。由于其每个神经元均与上一层的所有神经元相连,同时附带权重和偏置,因此可以拟合输入特征之间的复杂关系。同时,每个神经元都使用非线性激活函数,可使模型学习变量之间呈现非线性关系。FNN模型使用均方误差作为损失函数,以最小化损失函数为模型迭代方向。对于基于应力-应变曲线的J-C本构参数识别,FNN模型的训练流程如图2所示。

图  2  FNN模型训练流程图

Figure  2.  Flowchart for FNN model training

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随机森林（RF）模型^[21]是一种经典的机器学习方法,其运用了集成学习的思想,属于集成学习中的Bagging算法。通过对数据集（样本数为N）进行M次有放回抽样（bootstrap采样）,得到M个含有N个训练样本的采样集,并在各个样本集上进行基学习器的训练,最终得到M个训练好的基学习器。将所有基学习器的预测结果进行加权平均处理,得到最终的预测结果。随机森林模型具有强大的非线性关系拟合能力^[22],其原理如图3所示。

图  3  随机森林原理示意

Figure  3.  Schematic of random forest principles

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与传统的神经网络相比,循环神经网络（RNN）最大的不同在于可以在训练过程中保留数据之间的前后序列关系,通过循环连接的方式,使网络在每个序列中接收当前输入和前一个序列步的隐藏状态,同时输出新的隐藏状态和输出。图4为典型RNN模型结构,对每个t时刻,在RNN的主体A中输入当前时刻的X_t和前一个时刻的状态h_t−1,输出当前时刻的y和传递到下一个时刻的状态h_t。这种结构能让RNN捕捉序列中的时序信息及依赖关系。对于基于应力-应变曲线的J-C本构参数识别,输入为应力-应变曲线,而在应变速率恒定的条件下,输入是标准的时序数据,因此可使用RNN模型进行训练。

图  4  RNN模型原理示意

Figure  4.  Schematic of RNN model principles

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RF模型与RNN模型训练中所使用数据集与FNN模型所使用数据集保持一致,以保证最终结果的可信度。在pycharm平台上基于python语言实现上述算法的运行。

3.   模型训练及参数预测结果

3.1   数据集处理

为了消除不同特征之间的尺度差异,加快模型收敛速率,改善特征的权重计算过程,使用数据标准化的方法将数据映射到均值为0、标准差为1的标准正态分布。数据标准化的计算公式为

式中：X^*为经过标准化处理的数据；X为原数据；$\overline{X}$为原数据的均值；X_std为原数据的标准差。

3.2   贝叶斯超参数优化

对于常见的机器学习或者深度学习模型,不同于模型参数影响模型在特定任务上的性能,超参数会影响模型的学习过程。通常,超参数基于经验、交叉验证等方式进行选择^[23]。作者使用贝叶斯超参数优化的方法寻找最优超参数；不同于传统的网格搜索方法,该方法基于高斯过程模型,建立目标函数的先验和后验分布,对后验分布进行评估后再做出更优的选择,该方法可有效提高超参数搜索的效率。在超参数优化过程中以均方误差为目标函数。经过超参数优化后,FNN模型的学习率为0.002 2,隐藏层数为5,隐藏层神经元个数为61；RF模型的决策树个数为50,最大数深度为43,最小分割叶子节点数为3；RNN模型的学习率为0.000 66,隐藏层数为47,隐藏层神经元个数为5。

3.3   参数预测结果

以决定系数R²评估训练后模型的测试集性能,其定义如下：

式中：y_i为第i组本构参数实际值；y_p为本构参数预测值；$\overline{y}$为本构参数平均值。

模型回归性能越好,预测值越接近真实值,R²越接近1。结果显示：FNN模型、RF模型和RNN模型测试集的R²分别为0.847,0.499,0.741。在本构参数反演问题中,RF模型的测试集表现最差,FNN模型的测试集表现最好。可知,RF模型不适合J-C本构参数的反演。

3.4   试验验证与结果分析

以试验得到的真应力-真应变曲线为输入,采用FNN模型和RNN模型反演得到各温度下的J-C本构参数,然后利用有限元仿真获取反演预测曲线,通过对比反演预测曲线和试验曲线的接近程度验证预测参数的可靠性。对试验曲线进行非线性拟合,获取拟合本构参数,再基于拟合参数进行有限元仿真,获取拟合预测曲线。将反演预测曲线及拟合预测曲线与试验曲线进行对比,并计算预测曲线的平均相对误差。由图5可以看出：FNN模型反演预测曲线与试验曲线更加吻合,平均相对误差比RNN模型反演预测曲线和拟合预测曲线分别低约11.9%和2.1%,RNN模型反演预测曲线的平均相对误差比拟合预测曲线高约9.8%,说明RNN模型反演本构参数的准确性较差。基于FNN和RNN机器学习模型预测得到曲线塑性阶段的变化趋势比拟合预测曲线更符合试验曲线,但是在弹性阶段,反演预测曲线弹性阶段更短,屈服点在0.2%真应变附近,而试验曲线的屈服点在5%真应变附近。反演预测曲线不能很好地表征GH4169合金高温压缩过程的颈缩阶段,与试验曲线偏差较大,分析原因为J-C本构模型描述金属颈缩阶段的能力存在不足,从而影响了机器学习模型的性能,后续可以采用修正后的本构模型如Arrhenius-type模型等以提高预测精度。综上,FNN模型反演得到的J-C本构参数对GH4169合金应力-应变曲线的预测能力良好,而RNN模型的预测能力差。

图  5  由不同模型反演J-C本构参数和试验曲线拟合本构参数预测得到的不同温度下的真应力-真应变曲线与试验曲线以及平均相对误差

Figure  5.  True stress-true strain curves at different temperatures obtained by inversion of J-C constitutive parameters by different models and fitting of test curves and by test (a–e) and their average relative errors (f)

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4.   结论

（1）在GH4169合金的本构参数反演问题中,FNN模型、RF模型和RNN模型测试集的决定系数R²分别为0.847,0.499,0.741,FNN模型的表现最佳,而RF模型的表现最差,不适用于材料本构参数的反演。

（2）由FNN模型反演J-C本构参数预测得到的850~1 050 ℃下GH4169合金的压缩应力-应变曲线与试验曲线更加吻合,其平均相对误差比由RNN模型反演J-C本构参数和试验曲线拟合本构参数预测得到的曲线分别低约11.9%和2.1%。FNN模型反演得到的J-C本构参数对GH4169合金应力-应变曲线的预测能力良好,验证了通过选择合适机器学习方法反演本构参数的可行性。